reklama

Nekonečný hotel

Leto sa nezadržateľne blíži a s ním návštevy hotelov, kempingov, či turistických ubytovní. No kto by nemal rád predstavu hotela niekde na pláži Stredozemného mora? Napriek tomu, tento článok nie je o cestovnom ruchu ani o Stredozemnom mori, ale o niečom, čo ľudí fascinuje oddávna - nekonečno. Pojem "nekonečno" je pre ľudí veľmi ťažko predstaviteľný. Ak pre Vás matematika nie je nepriateľom, skúste sa so mnou pozrieť na paradoxy nekonečnej množiny na príklade známeho problému hotela s nekonečným počtom izieb.

Písmo: A- | A+
Diskusia  (12)

Nemecký matematik David Hilbert bol jedným z tých matematikov, ktorí poukazovali na zaujímavé paradoxy nekonečne veľkých množín, jedným z nich bol aj paradox nekonečne veľkého hotela. Je pomerne samozrejmé, že keď do konečnej množiny pridáme jeden prvok, tak táto množina sa zväčší (keď máme na stole 8 cukríkov a pridáme jeden, ich počet sa zvýši na 9). Keď ale uvažujeme o nekonečne veľkých množinách, tak toto isté neplatí. Naozaj, keby sme mali na stole nekonečne veľa cukríkov a pridali by sme jeden, tak ich stále ostane toľko isto.

SkryťVypnúť reklamu
Článok pokračuje pod video reklamou

Predstavte si teraz hotel, ktorý má nekonečne veľa izieb, pričom všetky tieto izby sú obsadené hosťami. Ak do hotela príde nový hosť, je možné ho v tomto hoteli ubytovať bez toho, aby sme vysťahovali nejakého hosťa z hotela? (hostí môžeme v rámci hotela presúvať z ich izby na nejakú inú).

V prípade konečného hotela je jasné, že toto by možné nebolo a hosťovi by sme museli povedať, že žiaľ ubytovanie nie je možné. My ale máme nekonečný hotel, kde toto je možné. Povedali sme predsa, že keď k nekonečne veľa cukríkom pridáme jeden, tak ich počet sa nezmení. To isté musí platiť v nekonečnom hoteli. Jedným so spôsobov, ako hosťa ubytovať, je povedať všetkým hosťom, aby sa presunuli do izby s číslom o 1 väčším ako ich súčasná izba. Teda hosť z izby 1 pôjde do izby 2, hosť z izby 2 pôjde do izby 3, atď. Potom nového hosťa ubytujeme do izby s číslom 1. A čo ak by mal hosť požiadavku, že chce bývať na izbe, ktorá nesie jeho šťastné číslo, napríklad 13? No to tiež nie je problém, hostí na izbách 1-12 by sme nepresúvali a hostí z izieb s číslami aspoň 13 by sme presunuli do izby s číslom o 1 vyšším. Tak by sa nám uvoľnila izba číslo 13, do ktorej by sme ubytovali nového hosťa.

SkryťVypnúť reklamu
reklama

A čo ak nepríde do hotela jeden nový hosť ale celý autobus hostí?

Povedzme, že v autobuse je 52 hostí. Problém s ubytovaním nemáme ani v tomto prípade. Jednoducho presunieme každého hosťa do izby s číslom o 52 vyšším ako je jeho aktuálna izba. Hosť z izby s číslom 1 sa presunie do izby s číslom 1+52=53, hosť z izby 2 do izby 54 atď. Tým sa nám uvoľní prvých 52 izieb, do ktorých môžeme ubytovať nových hostí. Opäť by toto ubytovanie bolo možné, aj keby každý z hostí mal svoje šťastné číslo izby, na ktorej chce bývať (za predpokladu že žiadni dvaja z hostí nemajú rovnaké obľúbené číslo).

Podobne by sme to vyriešili, aj keby autobus doviezol milión nových hostí. Takýto hotel by teda nemal problém ubytovať konečný počet hostí. Čo ale ak by prišiel nekonečný autobus a priviezol nekonečný počet hostí. Máme šancu ubytovať aj tých?

SkryťVypnúť reklamu
reklama

Keďže nekonečno plus nekonečno je stále iba nekonečno, takúto úlohu by sa nám teoreticky malo podariť splniť. A naozaj sa to aj dá, dokonca nekonečne veľa spôsobmi. Jedným zo spôsobov je presťahovať všetkých hostí do izieb s dvojnásobným číslom ako ich aktuálne izby. Teda hosť z izby 1 by išiel do izby 2, hosť z izby 2 do izby 4, z izby 3 do izby 6, atď. Tým by sa nám uvoľnili všetky izby s nepárnymi číslami, a keďže nepárnych čísel je nekonečne veľa, tak do týchto uvoľnených izieb by sme ubytovali nekonečne veľa nových hostí. Podobne by sme nekonečne veľa izieb uvoľnili, aj keby sme hostí nepresúvali do izieb s číslami, ktoré sú dvojnásobkami ich aktuálnych izieb, ale aj trojnásobkami, štvornásobkami, atď.

SkryťVypnúť reklamu
reklama

Ukazuje sa teda, že hotel má naozaj nekonečnú kapacitu, keď už dokáže ubytovať aj nekonečne veľký autobus. Aby to bolo ešte zaujímavejšie, skúsme sa pozrieť či by sa hotel nevzdal ani keby sa prišlo ubytovať nekonečne veľa aubusov, pričom v každom z nich by bolo nekonečne veľa hostí.

Hotel by sa samozrejme nevzdal, napriek tomu, že toto už je pre majiteľov hotela ťažší oriešok. Jedným zo spôsobov ako všetkých hostí ubytuje, je začať s presúvaním hostí do izieb s číslami 2,4,8,16,32,64,..., teda všetkých mocnín dvojky (tých je nekonečne veľa). Prvý autobus potom ubytuje do izieb s číslami, ktoré sú mocninami trojky, teda 3,9,27,81,... Ďalšie autobusy do izieb s číslami, ktoré sú postupne mocninami čísel 5,7,11,13,17,23,..., teda všetkých prvočísel. Prvočísla sú čísla, ktoré sú deliteľné iba číslom 1 a sebou samým a je ich nekonečne veľa, teda naozaj sa podarí ubytovať všetkých nekonečne veľa autobusov, dokonca v hoteli ostane ešte aj nekonečne veľa prázdnych izieb.

Na záver chcem matematicky vzdelanejších upozorniť, že v celom článku sa pod pojmom nekonečná množina myslí nekonečná, ale spočítateľne veľká množina (ako je napr. množina prirodzených čisel), a teda nie množina s mocnosťou kontinua (reálne čísla). Posledné dva problémy s hotelom sa dajú matematicky interpretovať aj ako rozklad množiny prirodzených čísel na dve nekonečné množiny, resp. na nekonečne veľa nekonečne veľkých množín. Posledná úloha sa dá riešiť napríklad aj analogicky ako problém zapísania všetkých (nekonečne veľa) racionálnych čísel do radu (pričom v tomto prípade nezostanú žiadne izby neobsadené), ale tento postup som vzhľadom k náročnejšiemu opisu neuvádzal.

V prípade, že máte vlastné nápady, ako hostí v jednotlivých prípadoch ubytovať, uvítam rôzne nápady v diskusii.

Mišo Ivaška

Mišo Ivaška

Bloger 
  • Počet článkov:  33
  •  | 
  • Páči sa:  0x

Pisomka.sk - elektronické testovanie žiakovEduclio - portál na evidenciu hodnotenia Zoznam autorových rubrík:  GeografiaPrírodaĽudiaPočítačeFotografieVedaMatematika

Prémioví blogeri

Monika Nagyova

Monika Nagyova

295 článkov
Zmudri.sk

Zmudri.sk

3 články
Matúš Sarvaš

Matúš Sarvaš

3 články
Adam Valček

Adam Valček

14 článkov
Karolína Farská

Karolína Farská

4 články
reklama
reklama
SkryťZatvoriť reklamu